📈 Geometría Analítica y Cálculo Básico

1. En el plano cartesiano, ¿en qué punto se cortan el eje de las abscisas (eje x) y el eje de las ordenadas (eje y)?

1. En el origen, de coordenadas (0,0)
2. En el punto (1,1)
3. En el centro del primer cuadrante
4. En cualquier punto del eje x

Los dos ejes perpendiculares se cortan en el origen, cuyas coordenadas son (0,0). (Geometría Analítica, sistema de coordenadas cartesianas, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

2. ¿En cuántos cuadrantes dividen al plano cartesiano los dos ejes perpendiculares, y cómo se numeran?

1. En cuatro cuadrantes, numerados I, II, III y IV en sentido contrario a las manecillas del reloj
2. En dos cuadrantes, numerados I y II
3. En cuatro cuadrantes, numerados en el sentido de las manecillas del reloj
4. En ocho cuadrantes, numerados del I al VIII

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes que se numeran I, II, III y IV en sentido contrario a las manecillas del reloj. (Geometría Analítica, sistema de coordenadas cartesianas, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

3. ¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la distancia entre dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en el plano cartesiano?

1. d = √[(x2−x1)² + (y2−y1)²]
2. d = (x2−x1) + (y2−y1)
3. d = √[(x2+x1)² + (y2+y1)²]
4. d = (x2−x1)² + (y2−y1)²

La distancia entre dos puntos se obtiene del teorema de Pitágoras: la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de coordenadas. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

4. ¿Cómo se obtienen las coordenadas del punto medio M de un segmento cuyos extremos son P1(x1,y1) y P2(x2,y2)?

1. Promediando las abscisas y las ordenadas: M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
2. Restando las coordenadas: M = (x2−x1, y2−y1)
3. Sumando las coordenadas sin dividir: M = (x1+x2, y1+y2)
4. Multiplicando las coordenadas: M = (x1·x2, y1·y2)

El punto medio es el promedio aritmético de las abscisas y de las ordenadas de los extremos. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

5. Calcula la distancia entre los puntos P1(1,2) y P2(4,6).

1. 5
2. 7
3. 3
4. 25

d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9+16] = √25 = 5. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

6. ¿Cuál es el punto medio del segmento cuyos extremos son P1(2,4) y P2(6,10)?

1. (4,7)
2. (8,14)
3. (2,3)
4. (4,6)

M = ((2+6)/2, (4+10)/2) = (4,7). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

7. Determina la distancia del origen (0,0) al punto (6,8).

1. 10
2. 14
3. 48
4. 100

d = √[6² + 8²] = √[36+64] = √100 = 10. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

8. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P1(−3,2) y P2(3,−6)?

1. 10
2. 8
3. 14
4. 6

d = √[(3−(−3))² + (−6−2)²] = √[36+64] = √100 = 10. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

9. El punto medio de un segmento es M(4,7) y uno de sus extremos es P1(2,3). ¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo P2?

1. (6,11)
2. (3,5)
3. (2,4)
4. (8,14)

Como M es el promedio, x2 = 2·4 − 2 = 6 y y2 = 2·7 − 3 = 11, por lo que P2 = (6,11). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

10. Determina el punto medio del segmento con extremos P1(−3,5) y P2(7,−1).

1. (2,2)
2. (5,3)
3. (4,4)
4. (−5,3)

M = ((−3+7)/2, (5+(−1))/2) = (4/2, 4/2) = (2,2). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

11. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P1(2,3) y P2(2,8) que están sobre una recta vertical?

1. 5
2. 11
3. 10
4. 0

Al tener la misma abscisa, d = √[0² + (8−3)²] = √25 = 5; equivale a la diferencia de ordenadas. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

12. Un punto P(x,y) tiene abscisa negativa y ordenada positiva. ¿En qué cuadrante se ubica?

1. Cuadrante II
2. Cuadrante I
3. Cuadrante III
4. Cuadrante IV

Con x<0 y y>0 el punto se localiza en el cuadrante II, ubicado arriba a la izquierda del origen. (Geometría Analítica, sistema de coordenadas cartesianas, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

13. Para un segmento con extremos A(1,2) y B(5,8), ¿qué procedimiento debes seguir para hallar su punto medio?

1. Promediar por separado las abscisas y las ordenadas, obteniendo (3,5)
2. Calcular la raíz de la suma de los cuadrados de las diferencias
3. Restar las coordenadas de B menos las de A
4. Sumar todas las coordenadas y dividir entre 4

El punto medio se obtiene promediando coordenadas: ((1+5)/2, (2+8)/2) = (3,5). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

14. Los vértices de un triángulo son A(−1,−1), B(2,3) y C(5,−1). ¿Cuánto mide el lado AB?

1. 5
2. 6
3. 4
4. 7

AB = √[(2−(−1))² + (3−(−1))²] = √[9+16] = √25 = 5. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

15. ¿Cuál de los siguientes puntos equidista (está a la misma distancia) del punto A(0,0) y del punto B(4,0)?

1. (2,5)
2. (1,0)
3. (3,2)
4. (0,4)

Los puntos que equidistan de A y B están sobre la recta x=2 (mediatriz del segmento); (2,5) cumple esa condición. (Geometría Analítica, Matemáticas III, Portal Académico CCH-UNAM ('Distancia entre dos puntos'))

16. ¿Qué representa el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a?

1. El valor L al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a a
2. El valor exacto de f en x=a siempre
3. La pendiente de la recta secante en x=a
4. El área bajo la curva de f entre 0 y a

El límite es el valor L al que tiende f(x) conforme x se aproxima a a, y se denota lim(x→a) f(x)=L. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

17. ¿Cuál es la notación correcta para expresar que el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L?

1. lim(x→a) f(x) = L
2. f(a) = lim L
3. lim(L→a) f(x) = x
4. d/dx f(x) = L

El límite se denota lim(x→a) f(x) = L, indicando que f(x) se aproxima a L cuando x se aproxima a a. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

18. Para la función f(x)=3x+1, ¿cuál es el valor de lim(x→2) f(x)?

1. 7
2. 6
3. 5
4. 3

Al ser una función polinomial continua, el límite se evalúa por sustitución directa: 3(2)+1 = 7. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

19. ¿Qué interpretación geométrica tiene la derivada f'(a) de una función en el punto de abscisa x=a?

1. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=a
2. El valor de f en x=a
3. La distancia del punto al origen
4. El área encerrada por la curva en x=a

La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=a. (Cálculo Diferencial, interpretación geométrica de la derivada, CCH-UNAM (guía extraordinario Cálculo, cch-oriente.unam.mx))

20. Calcula lim(x→3) (x²−9)/(x−3).

1. 6
2. 0
3. 9
4. No existe

Factorizando, (x²−9)/(x−3) = (x+3)(x−3)/(x−3) = x+3, cuyo límite cuando x→3 es 6. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

21. ¿Cuál es el valor de lim(x→2) (x²−4)/(x−2)?

1. 4
2. 0
3. 2
4. No existe

(x²−4)/(x−2) = (x+2)(x−2)/(x−2) = x+2; al sustituir x=2 se obtiene 4. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

22. Según su definición como límite, ¿cómo se define la derivada de una función f en un punto x?

1. f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
2. f'(x) = lim(x→0) [f(x) + h] · h
3. f'(x) = [f(x+h) + f(x)] / h, sin límite
4. f'(x) = lim(h→∞) [f(x+h) − f(x)] · h

La derivada es el límite del cociente incremental [f(x+h)−f(x)]/h cuando h tiende a cero, si dicho límite existe. (Cálculo Diferencial, derivada como límite del cociente incremental, CCH-UNAM (guía extraordinario Cálculo, cch-oriente.unam.mx))

23. Al intentar evaluar lim(x→1) (x²+2x−3)/(x−1) por sustitución directa se obtiene la forma indeterminada 0/0. ¿Qué se debe hacer y cuál es el límite?

1. Factorizar y simplificar; el límite es 4
2. Concluir de inmediato que el límite es 0
3. Concluir que el límite no existe
4. Sustituir x=0 en lugar de x=1; el límite es −3

Como (x²+2x−3) = (x+3)(x−1), al simplificar queda x+3, cuyo límite cuando x→1 es 4. (Programa de Estudios de Matemáticas, eje Funciones / introducción al Cálculo, CCH-UNAM (cch.unam.mx))

24. Usando la definición f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)−f(x)]/h, ¿cuál es la derivada de f(x)=x²?

1. f'(x) = 2x
2. f'(x) = x
3. f'(x) = 2
4. f'(x) = x²

[(x+h)²−x²]/h = (2xh+h²)/h = 2x+h; al tomar el límite cuando h→0 resulta 2x, lo que coincide con la regla de la potencia. (Cálculo Diferencial, derivada como límite del cociente incremental y regla de la potencia, CCH-UNAM (guía extraordinario Cálculo, cch-oriente.unam.mx))

25. El cociente incremental [f(x+h)−f(x)]/h con h distinto de cero representa la pendiente de cierta recta. ¿De qué recta se trata y qué ocurre cuando h tiende a cero?

1. Es la pendiente de la recta secante; cuando h→0 se aproxima a la pendiente de la recta tangente
2. Es la pendiente de la recta tangente; cuando h→0 se vuelve la secante
3. Es la ordenada al origen; cuando h→0 tiende a infinito
4. Es la distancia entre dos puntos; cuando h→0 tiende al radio

El cociente incremental es la pendiente de la recta secante, y al hacer h→0 dicho valor tiende a la pendiente de la recta tangente, es decir, a la derivada. (Cálculo Diferencial, interpretación geométrica de la derivada, CCH-UNAM (guía extraordinario Cálculo, cch-oriente.unam.mx))

26. En la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b, ¿qué representa el valor b?

1. La pendiente de la recta
2. La ordenada al origen, es decir, el valor de y donde la recta corta al eje y
3. La abscisa al origen, donde la recta corta al eje x
4. El ángulo de inclinación de la recta

En la forma y = mx + b, el término b es la ordenada al origen: el valor de y cuando x = 0, punto donde la recta cruza el eje y. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

27. ¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), con x1 distinto de x2?

1. m = (x2 − x1)/(y2 − y1)
2. m = (y2 − y1)/(x2 − x1)
3. m = (y2 + y1)/(x2 + x1)
4. m = (x2 − x1)·(y2 − y1)

La pendiente es el cociente del incremento en y entre el incremento en x: m = (y2 − y1)/(x2 − x1). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

28. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (4, 11).

1. 3
2. 1/3
3. 9
4. −3

Aplicando m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (11 − 2)/(4 − 1) = 9/3 = 3. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

29. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es y = −2x + 5?

1. Pendiente 5 y ordenada al origen −2
2. Pendiente −2 y ordenada al origen 5
3. Pendiente 2 y ordenada al origen −5
4. Pendiente −5 y ordenada al origen 2

Comparando con y = mx + b, el coeficiente de x es la pendiente (m = −2) y el término independiente es la ordenada al origen (b = 5). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM; geometriaanalitica.info)

30. Una recta pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente 4. Usando la forma punto-pendiente, ¿cuál es su ecuación?

1. y − 3 = 4(x − 2)
2. y − 2 = 4(x − 3)
3. y + 3 = 4(x + 2)
4. y − 3 = 2(x − 4)

La forma punto-pendiente es y − y1 = m(x − x1); sustituyendo el punto (2, 3) y m = 4 se obtiene y − 3 = 4(x − 2). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

31. ¿Qué condición deben cumplir las pendientes de dos rectas no verticales para que sean paralelas?

1. Que su producto sea −1
2. Que sean iguales (m1 = m2)
3. Que su suma sea cero
4. Que una sea el doble de la otra

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente (m1 = m2). (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

32. Si una recta tiene pendiente 3, ¿cuál es la pendiente de cualquier recta perpendicular a ella?

1. 3
2. −3
3. −1/3
4. 1/3

Para rectas perpendiculares el producto de sus pendientes es −1; entonces m2 = −1/3, ya que 3·(−1/3) = −1. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

33. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas entre sí: y = 2x + 1, y = −2x + 4, y = 2x − 7?

1. y = 2x + 1 y y = −2x + 4
2. y = 2x + 1 y y = 2x − 7
3. y = −2x + 4 y y = 2x − 7
4. y = 2x + 1 y y = −2x + 4 únicamente

Son paralelas las rectas con la misma pendiente; y = 2x + 1 y y = 2x − 7 comparten pendiente 2. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

34. Una recta horizontal (paralela al eje x) tiene como característica que:

1. Su pendiente es cero
2. Su pendiente es indefinida
3. Su pendiente es 1
4. Su ordenada al origen es cero siempre

En una recta horizontal el incremento en y es cero, por lo que m = 0/(x2 − x1) = 0; su ecuación tiene la forma y = b. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))

35. Determina la ecuación, en forma pendiente-ordenada al origen, de la recta que pasa por los puntos (0, −1) y (2, 5).

1. y = 3x − 1
2. y = 3x + 1
3. y = 2x − 1
4. y = −3x − 1

La pendiente es m = (5 − (−1))/(2 − 0) = 6/2 = 3; como pasa por (0, −1), la ordenada al origen es b = −1, dando y = 3x − 1. (Geometría Analítica, Matemáticas III, CCH-UNAM (Portal Académico CCH))