Este tema evalúa el cálculo de perímetros, áreas, volúmenes y relaciones trigonométricas a partir de datos descritos verbalmente. Lo esencial es leer el enunciado, identificar la figura y aplicar la fórmula correcta. Recuerda la conversión de ángulos: 180° = π radianes, de modo que 1 rad = 180°/π ≈ 57.2958°. Distingue entre rectas paralelas (no se cortan) y perpendiculares (forman 90°), pues definen los ángulos de las figuras.
En triángulos, el dato clave es que la suma de sus ángulos interiores cumple A + B + C = 180°. En un triángulo rectángulo aplica el teorema de Pitágoras: c² = a² + b² (c es la hipotenusa). Para el área dispones de varias vías según los datos que te den:
En la circunferencia y el círculo usa la longitud C = 2πr = πd y el área A = πr². Para cuerpos geométricos domina los volúmenes: cubo V = a³; prisma rectangular V = largo × ancho × alto; cilindro V = πr²h; cono V = (1/3)πr²h; esfera V = (4/3)πr³, cuya área superficial es A = 4πr².
Las razones trigonométricas se definen respecto a un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: sen = cateto opuesto / hipotenusa; cos = cateto adyacente / hipotenusa; tan = cateto opuesto / cateto adyacente. Para triángulos oblicuángulos (sin ángulo recto) aplica:
Por último, repasa las identidades trigonométricas básicas (relaciones entre seno, coseno y tangente) que simplifican expresiones y permiten despejar incógnitas en los problemas verbales.
1. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es igual a cierto valor. ¿Cuál es ese valor?
Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°. (Definición de ángulos complementarios (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
2. Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es igual a cierto valor. ¿Cuál es ese valor?
Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180°. (Definición de ángulos suplementarios (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
3. Si un ángulo mide 35°, ¿cuánto mide su complemento?
El complemento se obtiene restando de 90°: 90° − 35° = 55°. (Definición de ángulos complementarios (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
4. Un ángulo mide 35°. ¿Cuánto mide su suplemento?
El suplemento se obtiene restando de 180°: 180° − 35° = 145°. (Definición de ángulos suplementarios (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
5. Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando al cortarse forman ángulos de:
Por definición, dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos de 90° al cortarse. (Definición de rectas perpendiculares (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
6. ¿Cuál es la característica que define a dos rectas paralelas en el plano?
Dos rectas paralelas en el plano no tienen ningún punto en común y conservan una distancia constante. (Definición de rectas paralelas (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
7. Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice cumplen que:
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma medida. (Teorema de ángulos opuestos por el vértice (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
8. Dos rectas se cortan en un punto. Si uno de los ángulos formados mide 110°, ¿cuánto mide su ángulo opuesto por el vértice?
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, por lo que el opuesto también mide 110°. (Teorema de ángulos opuestos por el vértice (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
9. Dos rectas se cortan y uno de los cuatro ángulos formados mide 110°. ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos adyacentes a él?
Un ángulo y su adyacente forman un par lineal (suplementarios): 180° − 110° = 70°. (Ángulos adyacentes y par lineal (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
10. Dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal. Si un ángulo correspondiente mide 75°, ¿cuánto mide el otro ángulo correspondiente?
Entre paralelas cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales; por tanto mide 75°. (Teorema de ángulos correspondientes entre paralelas (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
11. Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Si un ángulo alterno interno mide 62°, ¿cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes, por lo que también mide 62°. (Teorema de ángulos alternos internos entre paralelas (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
12. Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Dos ángulos colaterales internos (del mismo lado de la transversal) cumplen que:
Los ángulos colaterales internos entre paralelas son suplementarios: su suma es 180°. (Teorema de ángulos colaterales internos entre paralelas (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
13. Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Un ángulo y su colateral interno se relacionan con las expresiones (2x + 10)° y (3x + 20)°. ¿Cuánto vale x?
Por ser colaterales internos suman 180°: (2x+10)+(3x+20)=180, así 5x+30=180 y x=30. (Ángulos colaterales internos suplementarios entre paralelas; temario UNAM Geometría)
14. Dos ángulos son complementarios y uno mide el doble del otro. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
Si los ángulos son x y 2x y suman 90°, entonces 3x=90, x=30° y el mayor es 2x=60°. (Definición de ángulos complementarios; temario UNAM Geometría)
15. ¿Cuál es la fórmula de la longitud (perímetro) de una circunferencia de radio r?
La longitud de la circunferencia es C = 2πr, equivalente a πd con d el diámetro. (Fórmula del perímetro de la circunferencia (geometría elemental))
16. ¿Cuál es la fórmula del área de un círculo de radio r?
El área del círculo es A = πr². (Fórmula del área del círculo (geometría elemental); temario UNAM Geometría)
17. Una circunferencia tiene un radio de 7 cm. Usando π ≈ 3.1416, ¿cuál es aproximadamente su longitud?
C = 2πr = 2(3.1416)(7) ≈ 43.98 cm. (Fórmula del perímetro de la circunferencia C = 2πr (geometría elemental))
18. Un círculo tiene radio de 10 cm. Usando π ≈ 3.1416, ¿cuál es aproximadamente su área?
A = πr² = 3.1416 × 10² = 314.16 cm². (Fórmula del área del círculo A = πr² (geometría elemental))
19. La longitud de una circunferencia también puede calcularse a partir del diámetro d mediante la fórmula:
Como d = 2r, la longitud es C = 2πr = πd. (Fórmula del perímetro de la circunferencia C = πd (geometría elemental))
20. Una circunferencia tiene un diámetro de 10 m. Usando π ≈ 3.1416, ¿cuál es aproximadamente su longitud?
C = πd = 3.1416 × 10 = 31.42 m. (Fórmula del perímetro de la circunferencia C = πd (geometría elemental))
21. En una circunferencia, un ángulo inscrito que abarca el mismo arco que un ángulo central mide, respecto del central:
El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. (Teorema del ángulo inscrito (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
22. Un ángulo central de una circunferencia mide 80°. ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco?
El ángulo inscrito es la mitad del central: 80° / 2 = 40°. (Teorema del ángulo inscrito (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
23. Todo ángulo inscrito en una circunferencia que subtiende un diámetro (semicircunferencia) mide:
El arco del diámetro corresponde a un ángulo central de 180°, así que el inscrito mide la mitad: 90°. (Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia (teorema de Tales); temario UNAM Geometría)
24. En un círculo de radio 12 cm, ¿cuál es la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 60°? Use π ≈ 3.1416.
La longitud del arco es (60/360)·2πr = (1/6)(2)(3.1416)(12) ≈ 12.57 cm. (Longitud de arco como fracción de la circunferencia C = 2πr; temario UNAM Geometría)
25. En un círculo de radio 8 cm, ¿cuál es el área de un sector circular de ángulo central 90°? Use π ≈ 3.1416.
El área del sector es (90/360)·πr² = (1/4)(3.1416)(64) ≈ 50.27 cm². (Área de sector circular como fracción del área del círculo A = πr²; temario UNAM Geometría)
26. El área de un círculo es 314 cm². Usando π ≈ 3.14, ¿cuál es aproximadamente su radio?
De A = πr² se despeja r = √(A/π) = √(314/3.14) = √100 = 10 cm. (Despeje del radio en A = πr² (geometría elemental); temario UNAM Geometría)
27. Si el radio de un círculo se triplica, ¿en qué factor aumenta su área?
Como A = πr², al triplicar r el área se multiplica por 3² = 9. (Relación cuadrática entre radio y área en A = πr²; temario UNAM Geometría)
28. La longitud de una circunferencia es 18.84 cm. Usando π ≈ 3.14, ¿cuál es aproximadamente su radio?
De C = 2πr se despeja r = C/(2π) = 18.84/(6.28) = 3 cm. (Despeje del radio en C = 2πr (geometría elemental); temario UNAM Geometría)
29. Según el teorema de Pitágoras, ¿qué relación se cumple entre los lados de un triángulo rectángulo, donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos?
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. (Teorema de Pitágoras (geometría euclidiana); temario UNAM, Geometría y Trigonometría)
30. Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
Por el teorema de Pitágoras, c = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm. (Teorema de Pitágoras; temario UNAM Geometría)
31. ¿Cómo se clasifica un triángulo cuyos tres lados tienen longitudes diferentes?
El triángulo escaleno es aquel que tiene sus tres lados de distinta longitud; el equilátero tiene los tres iguales y el isósceles dos iguales. (Clasificación de triángulos por sus lados (geometría euclidiana); temario UNAM Geometría)
32. En un triángulo rectángulo, ¿cuál de sus lados es siempre el de mayor longitud?
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el lado más largo de un triángulo rectángulo. (Propiedades del triángulo rectángulo; temario UNAM Geometría)
33. ¿Cómo se clasifica un triángulo que tiene sus tres lados iguales y, por tanto, sus tres ángulos de 60°?
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y, en consecuencia, sus tres ángulos interiores miden 60°. (Clasificación de triángulos por sus lados; temario UNAM Geometría)
34. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de sus catetos mide 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Despejando un cateto: b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. (Teorema de Pitágoras; temario UNAM Geometría)
35. Una escalera apoyada contra una pared forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la base mide 6 m y la altura alcanzada en la pared es de 8 m, ¿qué longitud tiene la escalera (la hipotenusa)?
La escalera es la hipotenusa: √(6² + 8²) = √100 = 10 m. (Teorema de Pitágoras; temario UNAM Geometría)