El examen de admisión a la licenciatura de la UNAM consta de 120 reactivos de opción múltiple que se responden en un máximo de tres horas, e incluye Matemáticas, con álgebra entre sus temas. El núcleo de este tema es traducir enunciados verbales al lenguaje algebraico y resolver lo planteado. Por ejemplo, «el doble de un número aumentado en cinco» se escribe como 2x + 5, y «un número disminuido en su tercera parte» como x − x/3. Para resolver un problema en palabras se elige una incógnita, se traducen las condiciones a una ecuación, se resuelve y se comprueba la solución en el contexto original.
En las operaciones, recuerda que solo se suman o restan términos semejantes (misma parte literal con los mismos exponentes), combinando únicamente sus coeficientes. Domina los productos notables: el cuadrado de un binomio, (a + b)² = a² + 2ab + b² y (a − b)² = a² − 2ab + b²; y los binomios conjugados, (a + b)(a − b) = a² − b² (diferencia de cuadrados), que también guía la factorización. Con las leyes de los exponentes, al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes (aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) y al dividirlas se restan (aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, con a ≠ 0).
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelve por sustitución, igualación, reducción (suma y resta) o determinantes (regla de Cramer): x = (c₁b₂ − c₂b₁)/(a₁b₂ − a₂b₁), siempre que a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0. El sistema es compatible determinado (solución única) si a₁/a₂ ≠ b₁/b₂; incompatible (rectas paralelas) si a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂; y compatible indeterminado (infinitas soluciones) si a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
1. En lenguaje algebraico, ¿cómo se escribe la expresión 'el doble de un número aumentado en cinco'?
El doble de un número es 2x y 'aumentado en cinco' agrega 5, por lo que la expresión es 2x + 5. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
2. ¿Cuál es la traducción algebraica de 'un número disminuido en su tercera parte'?
La tercera parte del número es x/3 y al disminuir el número en esa cantidad se obtiene x − x/3. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
3. ¿Cómo se expresa algebraicamente 'la suma de dos números consecutivos', si el menor es n?
El consecutivo de n es n + 1, así que su suma es n + (n + 1). (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
4. Un enunciado dice: 'el triple de un número, disminuido en 4, es igual a 11'. ¿Cuál es la ecuación correcta?
El triple del número es 3x y 'disminuido en 4' resta 4, igualado a 11 da 3x − 4 = 11. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento y resolución de problemas))
5. ¿Cuál es la expresión algebraica de 'el cuadrado de la suma de dos números'?
Primero se suman los números (x + y) y luego se eleva al cuadrado todo el resultado: (x + y)². (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
6. El perímetro de un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho x se expresa como:
El ancho es x y el largo 2x; el perímetro es 2(x + 2x) = 2(3x) = 6x. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento de problemas))
7. Si la edad actual de Ana es a años, ¿cómo se expresa 'la edad que tendrá Ana dentro de 7 años'?
Una edad futura se obtiene sumando los años que transcurren, por lo que la edad dentro de 7 años es a + 7. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
8. ¿Cuál es la traducción correcta de 'el cociente de un número entre 5, aumentado en 2'?
El cociente del número entre 5 es x/5 y al aumentarlo en 2 se suma esa cantidad: x/5 + 2. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
9. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, y la suma de sus edades es 48 años. ¿Qué ecuación plantea correctamente el problema, si x es la edad del hijo?
La edad del padre es 3x y la del hijo x; su suma 48 se expresa como x + 3x = 48. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento y resolución de problemas))
10. Resuelve: 'La mitad de un número, más 8, es igual a 20'. ¿Cuál es el número?
La ecuación es x/2 + 8 = 20, de donde x/2 = 12 y x = 24. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: ecuaciones de primer grado))
11. En la resolución de un problema planteado en palabras, ¿cuál es el primer paso recomendado?
El método consiste en primero elegir una incógnita, luego traducir las condiciones a una ecuación, resolverla e interpretar la solución. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento y resolución de problemas))
12. ¿Cómo se expresa 'la diferencia de los cuadrados de dos números' usando x e y?
Se eleva al cuadrado cada número y luego se restan: x² − y², que es distinto del cuadrado de la diferencia (x − y)². (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico y productos notables))
13. La suma de dos números es 30 y uno excede al otro en 8. Si x es el número menor, ¿cuál ecuación lo representa?
El mayor excede al menor en 8, así que es x + 8; su suma con el menor x igual a 30 da x + (x + 8) = 30. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento de problemas))
14. Un artículo cuesta p pesos y se le aplica un descuento del 15%. ¿Cuál expresión representa el precio final a pagar?
Descontar 15% deja el 85% del precio, es decir 0.85p. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento de problemas, porcentajes))
15. ¿Cuál de las siguientes es la traducción de 'cinco veces un número, menos siete'?
Cinco veces el número es 5x y 'menos siete' resta 7, dando 5x − 7. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: lenguaje algebraico))
16. ¿Cuál de los siguientes NO es un método clásico para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?
Los métodos clásicos son sustitución, igualación, reducción y determinantes (Cramer); la factorización por agrupación no se usa para resolver sistemas lineales. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: sistemas de ecuaciones lineales))
17. Resuelve el sistema: x + y = 10; x − y = 4. ¿Cuál es la solución?
Sumando ambas ecuaciones se obtiene 2x = 14, x = 7; sustituyendo, y = 3. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: sistemas de ecuaciones lineales))
18. Resuelve el sistema: 2x + y = 11; x − y = 1. ¿Cuál es el valor de x?
Sumando las ecuaciones se elimina y: 3x = 12, por lo que x = 4 (y = 3). (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: método de reducción))
19. Según la regla de Cramer, ¿cuál es la condición para que un sistema a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ tenga solución única?
La regla de Cramer requiere que el determinante del sistema a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 para garantizar solución única. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: regla de Cramer))
20. Un sistema lineal 2×2 es incompatible (sin solución, rectas paralelas) cuando:
Si los coeficientes son proporcionales pero no con los términos independientes (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂), las rectas son paralelas y no hay solución. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: clasificación de sistemas))
21. ¿Cuándo un sistema lineal 2×2 es compatible determinado (solución única)?
El sistema tiene solución única cuando los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: clasificación de sistemas))
22. El sistema 2x + 3y = 6; 4x + 6y = 18 es:
Como 2/4 = 3/6 = 1/2 pero 6/18 = 1/3 es distinto, los coeficientes son proporcionales pero no con los términos independientes, por lo que el sistema es incompatible. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: clasificación de sistemas))
23. Dos lápices y tres cuadernos cuestan 49 pesos; un lápiz cuesta 5 pesos. ¿Cuánto cuesta un cuaderno?
Con 2(5) + 3c = 49 se obtiene 3c = 39, así que c = 13 pesos. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento con sistemas))
24. La suma de dos números es 25 y su diferencia es 7. ¿Cuáles son los números?
El sistema x + y = 25, x − y = 7 da 2x = 32, x = 16 y por tanto y = 9. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento con sistemas))
25. En una granja hay gallinas y conejos; en total se cuentan 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos conejos hay?
Con g + c = 20 y 2g + 4c = 56, al resolver se obtiene c = 8 conejos (y 12 gallinas). (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: planteamiento con sistemas))
26. Al aplicar el método de sustitución al sistema y = 2x; x + y = 9, ¿qué ecuación se obtiene al sustituir y en la segunda ecuación?
Sustituyendo y = 2x en x + y = 9 se obtiene x + 2x = 9, de donde x = 3 e y = 6. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: método de sustitución))
27. Al desarrollar el cuadrado del binomio (a + b)², ¿cuál es el resultado correcto según los productos notables?
El cuadrado de un binomio es un producto notable: (a + b)² = a² + 2ab + b², es decir, el cuadrado del primero, más el doble producto, más el cuadrado del segundo. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables))
28. El producto de dos binomios conjugados (a + b)(a − b) da como resultado:
El producto de binomios conjugados es una diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a² − b². (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables y factorización))
29. ¿Cuál es el desarrollo correcto de (x − 3)²?
Aplicando (a − b)² = a² − 2ab + b² con a = x y b = 3 se obtiene x² − 2(x)(3) + 3² = x² − 6x + 9. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables))
30. Al multiplicar (x + 5)(x − 5), ¿qué expresión se obtiene?
Por la diferencia de cuadrados (a + b)(a − b) = a² − b², se tiene (x + 5)(x − 5) = x² − 5² = x² − 25. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables y factorización))
31. Para sumar correctamente los polinomios (3x² + 2x − 5) y (x² − 4x + 1), ¿qué procedimiento debe seguirse y cuál es el resultado?
Solo se combinan términos semejantes sumando sus coeficientes: (3+1)x² + (2−4)x + (−5+1) = 4x² − 2x − 4. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: operaciones con expresiones algebraicas, términos semejantes))
32. Al desarrollar (2x + 3)², ¿cuál es el polinomio resultante?
Con (a + b)² = a² + 2ab + b² y a = 2x, b = 3: (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables))
33. ¿Cuál es el resultado de dividir las potencias de igual base x⁷ / x³?
Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, por lo que x⁷ / x³ = x⁷⁻³ = x⁴. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: leyes de los exponentes))
34. Al multiplicar las potencias x⁵ · x⁴, el resultado correcto es:
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, por lo que x⁵ · x⁴ = x⁵⁺⁴ = x⁹. (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: leyes de los exponentes))
35. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO corresponde a un producto notable verdadero?
(a + b)² no es igual a a² + b²; el desarrollo correcto incluye el doble producto: (a + b)² = a² + 2ab + b². (Guía de estudio para el ingreso a la Licenciatura, DGAE-UNAM (Álgebra: productos notables))